随机变量 $X=X(e)$ 是定义在样本空间 $S=\{e\}$ 上的实值单值函数，它是随机试验结果的函数，它的取值随试验的结果而定，是不能预先确定的，它的取值有一定的概率分布。

离散型随机变量

一个随机变量，如果它所有可能的值是有限个或可列无限个，这种随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量性质

设离散型随机变量 $X$ 所有可能取的值为 $x_{k},(k=1,2,\cdots)$，$X$ 取各个可能值的概率，即事件 $\{X=x_{k}\}$ 的概率为

阅读更多

继续！

多元函数的极值

设函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 为 $D$ 的内点，若存在 $P_{0}$ 的某个领域 $U(P_{0}) \subset D$，使得对于该领域内异于 $P_{0}$ 的任何点 $(x,y)$，都有

$$f(x,y)<f(x_{0}, y_{0})，$$

则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 有极大值 $f(x_{0}, y_{0})$ ，点 $((x_{0}, y_{0}))$ 称为函数 $f(x,y)$ 的极大值点；若对于该领域内异于 $P_{0}$ 的任何点 $(x,y)$，都有

阅读更多

继续！

方向导数

设 $l$ 是 $xOy$ 平面上以 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 为始点的一条射线，$\mathbf{e}_{l}=(cos(\alpha), cos(\beta))$ 是与 $l$ 同方向的单位向量。射线 $l$ 的参数方程为

$$\begin{cases}
x=x_{0}+tcos(\alpha),\\
y=y_{0}+tcos(\beta)&\text{$(t \geq 0).$}
\end{cases}$$

阅读更多

继续！

多元函数

设 $D$ 是 $R^{2}$ 的一个非空子集，称映射 $f: D \to R$ 为定义在 $D$ 上的一个二元函数，通常记为

$$z=f(x,y), (x,y) \in D$$

或

$$z=f(P), P \in D,$$

其中点集 $D$ 称为该函数的定义域，$x$ 和 $y$ 称为自变量， $z$ 称为因变量。

阅读更多

继续！

定积分

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有上届，在 $[a,b]$ 中任意插入若干分点

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,$$

把区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间

$$[x_0, x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1}, x_n],$$

各个小区间的长度依次为

$$\Delta x_1=x_1-x_0, \Delta x_2=x_2-x_1, \cdots, \Delta x_n=x_n-x_{n-1},$$

阅读更多

继续！

原函数

如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任一 $c \in I$，都有

$$F^{‘}(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx,$$

那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ （或$f(x)dx$）在区间 $I$ 上的一个原函数。

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$，即对任一 $x \in I$ 都有

$$F^{‘}(x)=f(x)$$

即连续函数一定有原函数。

阅读更多

继续！

背景

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达。由于用多项式表示函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此，经常用多项式来近似表达函数。

阅读更多

继续！

费马(Fermat)引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对于任意的 $x \in U(x_0)$，有

$$f(x) \leq f(x_0) （或 f(x) \geq f(x_0)）,$$

那么 $f^{‘}(x)=0.$

阅读更多

继续！

导数

导数定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个领域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，应变量取得增量 $\Delta y=f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)$；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{‘}(x_0)$，即

阅读更多

忘记了从头再来，温故知新！

函数

映射

设 $X$、$Y$ 是两个非空的集合，如果存在一个法则 $f$，使得对$X$中的每个元素 $x$，按法则 $f$，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作

$$f:x \to y$$

其中，$y$ 称为元素 $x$（在映射 $f$ 下）的像，并记作 $f(x)$，即

阅读更多