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导数

导数定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个领域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，应变量取得增量 $\Delta y=f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)$；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{‘}(x_0)$，即

$$f^{‘}(x)=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},$$

也可记作$y^{‘}|_{x=x_0}$，$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$.

导数的概念就是函数变化率的精确描述：因变量增量与自变量增量之比 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是因变量 $y$ 在以 $x_0$ 和 $x_0 + \Delta x$ 为断点的区间上的平均变化率，而导数 $f^{‘}(x_0)$ 则是因变量 $y$ 在点 $x_0$ 处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

可导

导数

$$f^{‘}(x_0)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h}$$

是一个极限，而极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等，因此 $f^{‘}(x_0)$ 存在即 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充要条件是左、右极限

$$\lim \limits_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h} 及 \lim \limits_{h \to 0^{+}} \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h}$$

都存在且相等，这两个极限分别称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数和右导数。

因此，函数 $f(x_0)$ 在点 $x_0$ 处可导的充要条件是左导数和右导数都存在且相等。

导数几何意义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{‘}(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率，即

$$f^{‘}(x_0)=tan(\alpha)$$

其中 $\alpha$ 是切线的倾角。

求导法则

常数和基本初等函数

1. $(C)^{‘}=0,$
2. $(x^{\mu})^{‘}=\mu x^{\mu -1},$
3. $(sin(x))^{‘}=cos(x),$
4. $(cos(x))^{‘}=-sin(x),$
5. $(tan(x))^{‘}=(sec(x))^{2},$
6. $(cot(x))^{‘}=-(csc(x))^{2},$
7. $(sec(x))^{‘}=sec(x)tan(x),$
8. $(csc(x))^{‘}=-csc(x)cot(x),$
9. $(a^{x})^{‘}=a^{x}ln(a), (a>0, a \neq 1),$
10. $(e^{x})^{‘}=e^{x},$
11. $(log_a(x))^{‘}=\frac{1}{xln(a)}, (a>0, a \neq 1),$
12. $(ln(x))^{‘}=\frac{1}{x},$
13. $(arcsin(x))^{‘}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},$
14. $(arccos(x))^{‘}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},$
15. $(arctan(x))^{‘}=\frac{1}{1+x^{2}},$

函数的和、差、积、商

设 $\mu=\mu (x)，\upsilon=\upsilon (x)$ 都可导，则

1. $(\mu \pm \upsilon)^{‘}=\mu ^{‘} \pm \upsilon ^{‘},$
2. $(C\mu)^{‘}=C\mu ^{‘},$
3. $(\mu \upsilon)^{‘}=\mu ^{‘}\upsilon + \mu \upsilon ^{‘},$
4. $(\frac{\mu}{\upsilon})^{‘}=\frac{\mu ^{‘}\upsilon - \mu \upsilon ^{‘}}{\upsilon ^{2}}, (\upsilon \neq 0).$

反函数

设 $x=f(y)$ 在区间 $I_{y}$ 内单调、可导且 $f^{‘} \neq 0$，则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x=f(I_x)$ 内也可导，且

$$[f^{-1}(x)]^{-1}=\frac{1}{f^{‘}(y)}，或 \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

复合函数

设 $y=f(\mu)$，而 $\mu=g(x)$ 且 $f(\mu)$ 及 $g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{dx}， 或 y^{‘}(x)=f^{‘}(x) \cdot g^{‘}(x).$$

高阶导数

一般地，函数 $y=f(x)$ 的导数 $y^{‘}=f^{‘}(x)$ 仍然是 $x$ 的函数，我们把 $y^{‘}=f^{‘}(x)$ 的导数叫做函数 $y=f(x)$ 的二阶导数，记作 $y^{‘’}$ 或 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$，即

$$y^{‘’}=y^{‘}，或 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}.$$

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

微分

微分的定义

设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在这个区间内，如果函数的增量

$$\Delta y=f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$

可表示为

$$\Delta y=A\Delta x + o(\Delta x),$$

其中，$A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\Delta x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$，即

$$dy=A\Delta x.$$

由

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}.$$

于是，当 $\Delta x \to 0$ 时，由上式就得到

$$A=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{‘}(x_0).$$

通常把自变量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记作 $dx$ ，即 $dx=\Delta x$，于是函数 $y=f(x)$ 的微分又可记作

$$dy=f^{‘}(x)dx$$

从而有

$$\frac{dy}{dx}=f^{‘}(x).$$

几何意义

对于可微函数 $y=f(x)$ 而言，当 $\Delta y$ 是曲线 $y=f(x)$ 上的点的纵坐标的增量时，$dy$ 就是曲线的切线上的点的纵坐标的相应增量。当 $|\Delta x|$ 很小时，$|\Delta y - dy|$ 比 $|\Delta x|$ 小的多。

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版