文章目录
  1. 1. 离散型随机变量
    1. 1.1. 离散型随机变量性质
    2. 1.2. 离散型随机变量分布
      1. 1.2.1. (0-1)分布
      2. 1.2.2. 伯努利试验和二项分布
      3. 1.2.3. 泊松分布
  2. 2. 连续型随机变量
    1. 2.1. 连续型随机变量性质
    2. 2.2. 连续型随机变量分布
      1. 2.2.1. 均匀分布
      2. 2.2.2. 指数分布
      3. 2.2.3. 正态分布
  3. 3. 参考资料

随机变量 $X=X(e)$ 是定义在样本空间 $S=\{e\}$ 上的实值单值函数,它是随机试验结果的函数,它的取值随试验的结果而定,是不能预先确定的,它的取值有一定的概率分布。

离散型随机变量

一个随机变量,如果它所有可能的值是有限个或可列无限个,这种随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量性质

设离散型随机变量 $X$ 所有可能取的值为 $x_{k},(k=1,2,\cdots)$,$X$ 取各个可能值的概率,即事件 $\{X=x_{k}\}$ 的概率为

$$P\{X=x_{k}\}=p_{k}, k=1, 2, \cdots .$$

由概率的定义, $p_{k}$ 满足如下两个条件:

  1. $p_{k} \geq 0, k=1, 2, \cdots ;$
  2. $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=1.$

离散型随机变量分布

(0-1)分布

设随机变量 $X$ 只可能取 0 和 1 两个值,它的分布律是

$$P\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k},k=0,1,(0<p<1),$$

则称 $X$ 服从以 $p$ 为参数的 (0-1)分布或两点分布。

伯努利试验和二项分布

设试验 $E$ 只有两个可能的结果:$A$ 和 $\overline A$,则称 $E$ 为伯努利(Bernouli)试验。设 $P(A)=p,(0<p<1)$,此时 $P(\overline A)=1-p$。将 $E$ 独立重复地进行 $n$ 次,则称这一串重复的独立试验为 $n$ 重伯努利试验

这里“重复”是指在每次试验中 $P(A)=p$ 保持不变;“独立” 是指各次试验的结果互不影响,即若以 $C_{i}$ 记第 $i$ 次试验的结果,$C_{i}$ 为 $A$ 或 $\overline A$,$i=1,2,\cdots ,n$。独立是指

$$P(C_{i}C_{2} \cdots C_{n})=P(C_{1})P(C_{2}) \cdots P(C_{n}).$$

以 $X$ 表示 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数,$X$ 是一个随机变量,我们来求他的分布律。$X$ 所有可能的取值为 $0,1,2,\cdots,n$。由于各次试验是相互独立的,因此事件 $A$ 在指定的 $k,(0\leq k \leq n)$次试验中发生,在其他 $n-k$ 次试验中 $A$ 中不发生,则概率为 $p^{k}(1-p)^{n-k}$。

这种指定的方式共有 ${n \choose k}$ 种,它们是两两互不相容的,故在 $n$ 次试验中 $A$ 发生 $k$ 次的概率为 ${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$,记 $q=1-p$,即有

$$P\{X=k\}={n \choose k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n.$$

显然

$$P\{X=k\} \geq 0,k=0,1,2,\cdots,n;$$

$$\sum_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1.$$

注意到 ${n \choose k}p^{k}q^{n-k}$ 刚好是二项式 $(p+q)^{n}$ 的展开式中出现 $p^{k}$ 的那一项,我们称随机变量 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布,并记为 $X~b(n,p).$

泊松分布

设随机变量 $X$ 所有可能取的值为 $0,1,2,\cdots,$ 而取各个值的概率为

$$P\{X=k\}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots,$$

其中,$\lambda$ 是常数,则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,记为 $X ~ \pi (\lambda)$。

泊松定理

设 $\lambda > 0$ 是一个常数,$n$ 是任意正整数,设 $np_{n}=\lambda$,则对于任一固定的非负整数 $k$,有

$$\lim_{n \to \infty}{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$$

连续型随机变量

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(X)$,如果存在非负可积函数 $f(x)$ ,使得对于任意 $x$,有

$$
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx,
$$

则称 $X$ 是连续型随机变量,其中 $f(x)\geq 0$ 称为 $X$ 的概率密度。

连续型随机变量性质

由定义知道,概率密度 $f(x)$ 具有以下性质:

  1. $f(x) \geq 0$;
  2. $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$;
  3. 对于任意的实数 $x_1,x_2,(x_1 \leq x_2),$,有 $P\{x_1<X\leq x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx;$
  4. 若 $f(x)$ 在点 $x$ 处连续,则有 $F^{‘}(x)=f(x)$.

连续型随机变量分布

均匀分布

若连续随机变量 $X$ 具有概率密度

$$f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{b-a} & \text{a<x<b,}\\
0 & \text{其他}.
\end{cases}$$

则称 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从均匀分布,记为 $X~U(a,b).$

指数分布

若连续随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\theta}e^{\frac{-x}{\theta}} & \text{$x$>0,}\\
0 & \text{其他}.
\end{cases}$$

其中,$\theta > 0$ 为常数,则称 $x$ 服从参数为 $\theta$ 的指数分布

服从指数分布的随机变量 $X$ 具有以下性质:

对于任意 $s,t>0$,有

$$P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}$$.

正态分布

若连续随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}},-\infty < x < \infty,$$

其中 $\mu,\sigma(\sigma>0)$ 为常数,则称 $X$ 服从参数为 $\mu,\sigma$ 的正太分布高斯(Gauss)分布,记为 $X~N(\mu,\sigma ^2).$

概率密度具有如下性质:

  1. 曲线关于 $x=\mu$ 对称,这表明对于任意 $h>0$ 有 $P\{\mu-h<X\leq \mu\}=P\{\mu<X\leq \mu+h\}.$
  2. 当 $x=\mu$ 时取得最大值 $f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sigma.$

参考资料

  1. 《概率论与数理统计》,第四版,高等教育出版社
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  1. 1. 离散型随机变量
    1. 1.1. 离散型随机变量性质
    2. 1.2. 离散型随机变量分布
      1. 1.2.1. (0-1)分布
      2. 1.2.2. 伯努利试验和二项分布
      3. 1.2.3. 泊松分布
  2. 2. 连续型随机变量
    1. 2.1. 连续型随机变量性质
    2. 2.2. 连续型随机变量分布
      1. 2.2.1. 均匀分布
      2. 2.2.2. 指数分布
      3. 2.2.3. 正态分布
  3. 3. 参考资料