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多元函数

设 $D$ 是 $R^{2}$ 的一个非空子集，称映射 $f: D \to R$ 为定义在 $D$ 上的一个二元函数，通常记为

$$z=f(x,y), (x,y) \in D$$

或

$$z=f(P), P \in D,$$

其中点集 $D$ 称为该函数的定义域，$x$ 和 $y$ 称为自变量， $z$ 称为因变量。

多元函数即

$$u=f(\mathbf{x}), \mathbf{x}=(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D$$

也可以记为

$$u=f(P), P(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D$$

多元函数的极限

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_{0}(x_{0},y_{0})$ 是 $D$ 的聚点。如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当点 $P(x,y) \in D \cap \stackrel{o}{\cup}(P_{0}, \delta)$ 时，都有

$$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\varepsilon$$

成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x, y) \to (x_{0}, y_{0})$ 时的极限，记作

$$\lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f(x,y)=A 或 f(x,y) \to A((x,y) \to (x_{0}, y_{0})),$$

也记作

$$\lim_{P \to P_{0}} f(P)=A 或 f(P) \to A，(P \to P_{0})$$

多元函数的连续性

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 为 $D$ 的聚点，且 $P_{0} \in D$。如果

$$\lim_{(x,y) \to (x_{0}, y_{0})}f(x,y)=f(x_{0},y_{0}),$$

那么称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 连续。

偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的某一领域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_{0}$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应的函数有增量

$$f(x_{0}+\Delta x, y_{0})-f(x_{0}, y_{0}),$$

如果

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_{0})-f(x_{0}, y_{0})}{\Delta x}$$

存在，那么称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial x}|_{\stackrel{x=x_{0}}{y=y_{0}}}或\frac{\partial f}{\partial x}|_{\stackrel{x=x_{0}}{y=y_{0}}}或z_{x}|_{\stackrel{x=x_{0}}{y=y_{0}}}或f_{x}(x_{0},y_{0}).$$

对 $y$ 的偏导数类似。

求 $z=f(x,y)$ 的偏导数，只有一个自变量在动，另一个自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题。求$\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，只要把 $y$ 暂时看做常量而对 $x$ 求导数；求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，只要把 $x$ 暂时看做常量而对 $y$ 求导数。

几何意义

二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 的偏导数几何意义：

设 $M_{0}(x_{0}, y_{0})$ 为曲面 $z=f(x,y)$ 上的一点，过 $M_{0}$ 作平面 $y=y_{0}$，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 $y=y_{0}$ 上的方程为 $z=f(x, y_{0})$，则导数 $\frac{d}{dx}f(x, y_{0})|_{x=x_{0}}$，即偏导数 $f_x(x_{0}, y_{0})$，就是这曲线在点 $M_{0}$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。同样，偏导数 $f_{y}(x_{0}, y_{0})$ 的几何意义是曲平面被平面 $x=x_{0}$ 所截得的曲线在点 $M_{0}$ 处的切线对 $y$ 轴的斜率。

高阶偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_{x}(x,y)，\frac{\partial z}{\partial y}=f_{y}(x,y)$$

于是在 $D$ 内 $f_{x}(x,y)，f_{y}(x,y)$ 都是 $x,y$ 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}=f_{xx}(x,y),\\
\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y),\\
\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(y,x),\\
\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}=f_{yy}(y,y),
\end{eqnarray}$$

其中（2）和（3）两个偏导数称为混合偏导数，同样可导三阶、四阶等以及 $n$ 偏导数。二阶及以上称为高阶偏导数。

如果函数 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必须相等。

全微分

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某领域内有定义，如果函数在点 $(x,y)$ 的全增量

$$\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)$$

可表示

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y + o(\rho),$$

其中 $A$ 和 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$，那么称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，而 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 全微分，记作 $dz$，即

$$dz=A\Delta x+B\Delta y.$$

如果函数在区域 $D$ 内各点处都可微，那么称这函数在 $D$ 内可微。

必要条件

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，那么该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分为

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y.$$

充分条件

如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}、\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续，那么函数在该点可微分。

习惯上，我们将自变量的增量 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 分别记作 $dx$ 和 $dy$ ，并分别称为自变量 $x$ 和 $y$ 的微分，这样，函数 $z=f(x,y)$ 的全微分就可写为

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.$$

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版