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函数

映射

设 $X$、$Y$ 是两个非空的集合，如果存在一个法则 $f$，使得对$X$中的每个元素 $x$，按法则 $f$，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作

$$f:x \to y$$

其中，$y$ 称为元素 $x$（在映射 $f$ 下）的像，并记作 $f(x)$，即

$$y=f(x),$$

而元素 $x$ 称为元素 $y$（在映射 $f$ 下）的一个原像；集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=X$ ；$X$ 中所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(X)$，即

$$R_f=f(X)=\{f(x)|x \in X\}.$$

函数

设数集 $D \subset R$，则称映射 $f:D \to R$ 为定义在 $D$ 上的函数，通常简记为

$$y=f(x), x \in D,$$

其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=D$.

反函数

设函数 $f:D \to f(D)$ 是单射（若对 $X$ 中任意两个不同的元素，$x_1 \neq x_2$，它们的像 $f(x_1) \neq f(x_2)$），则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D) \to D$，称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数。

基本初等函数

• 幂函数：$y=x^{\mu}，(\mu \in R 是常数)$
• 指数函数：$y=a^{x}，(a>0 且 a \neq 1)$
• 对数函数：$y=log_a(x)，(a>0 且 a \neq 1，特别当 a=e 时，记为 y=ln(x))$
• 三角函数：如 $y=sin(x)，y=cos(x)，y=tan(x)$ 等
• 反三角函数：如 $y=arcsin(x)，y=arccos(x)，y=arctan(x)$ 等

初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如

$$y = \sqrt{ 1-x^{2} }$$

$$y = sin^{2}(x)$$

$$y = \sqrt{ cot(\frac{x}{2}) }$$

极限

数列的极限

设 $\{x_n\}$ 为一数列，如果存在常数 $a$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，不等式

$$|x_n - a| < \varepsilon$$

都成立，那么就称常数 $a$ 是数列 $|x_n|$ 的极限，或者称数据列 $|x_n|$ 收敛于 $a$，记为

$$\lim \limits_{n \to \infty}x_n=a,$$

或

$$x_n \to a , (n \to \infty).$$

函数的极限

1.自变量趋于有限值时函数的极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心领域内有定义，如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式

$$|f(x)-A| < \varepsilon,$$

那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作

$$\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A 或 f(x) \to A（当 x \to x_0）$$

定义中 $0<|x-x_0|$ 表示 $x \neq x_0$，所以 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 有没有极限，与 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是否有定义并无关系。

定义可以简单表示为：

$$\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta>0, 当 0<|x-x_0|<\delta 时，有 |f(x)-A|<\varepsilon.$$

2.自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一个正数时有定义，如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在着正数 $X$，使得当 $x$ 满足不等式 $|x| > X$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式

$$|f(x)-A|<\varepsilon,$$

那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，记作

$$\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=A，或 f(x) \to A（当 x \to \infty）.$$

定义可以简单表示为：

$$\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0，\exists X>0，当 |x| > X 时，有 |f(x)-A|<\varepsilon.$$

无穷大和无穷小

无穷大

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心领域内有定义（或 |x| 大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数 $M$（不论它多么大），总存在正数 $\delta$（或正数 $X$），只要 $x$ 适合不等式 $0<|x-x_0|<\delta$（或 |x|>X），对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式

$$|f(x)|>M,$$

那么称函数 $f(x)$ 是当 $x \to x_0（或 x \to \infty）$时的无穷大.

无穷小

如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0（或 x \to \infty）$时的极限为零，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0（或 x \to \infty）$ 时的无穷小。

e

$$\lim \limits_{x \to \infty}(1+ \frac{1}{x})^{x}=e$$

$$\lim \limits_{x \to \infty}(1- \frac{1}{x})^{x}=\frac{1}{e}$$

无穷小的比较

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{x^{2}}{3x}=0,$$

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{3x}{x^{2}}=\infty,$$

$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{sin(x)}{3x}=\frac{1}{3},$$

两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反应了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度。

• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta=o(\alpha)；$
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0$，那么就说 $\beta$ 是与 $\alpha$ 同阶无穷小；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha ^{k}}=c \neq 0$，那么就说 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha ^{k}}=1$，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta.$

因为 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{3x^{2}}{x}=0$，所以 $x \to 0$ 时，$3x^{2}$ 是比 $x$ 高阶的无穷小，即

$$3x^{2}=o(x)（x \to 0）.$$

连续性

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一个领域内有定义，如果

$$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y=\lim \limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0+\Delta x) - f(x_0)]=0,$$

那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

函数的间断点

• 在 $x=x_0$没有定义，如 $y=tan(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处；
• 虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)$ 不存在；
• 虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)存在$，但 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$，如

$$y=f(x)=
\begin{cases}
x & \mbox{$x \neq 1$},\\
\frac{1}{2} & \mbox{$x=1$}
\end{cases}$$

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版