继续！

多元函数的极值

设函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 为 $D$ 的内点，若存在 $P_{0}$ 的某个领域 $U(P_{0}) \subset D$，使得对于该领域内异于 $P_{0}$ 的任何点 $(x,y)$，都有

$$f(x,y)<f(x_{0}, y_{0})，$$

则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 有极大值 $f(x_{0}, y_{0})$ ，点 $((x_{0}, y_{0}))$ 称为函数 $f(x,y)$ 的极大值点；若对于该领域内异于 $P_{0}$ 的任何点 $(x,y)$，都有

$$f(x,y)>f(x_{0}, y_{0})，$$

则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 有极小值 $f(x_{0}, y{0})$，点 $(x_{0}, y_{0})$ 称为函数 $f(x,y)$ 的极小值点，极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值点的点称为极值点。

必要条件

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 具有偏导数，且在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处有极值，则有

$$f_{x}(x_{0}, y_{0})=0,f_{y}(x_{0}, y_{0})=0.$$

充分条件

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 的某领域内连续且有一阶和二阶连续偏导数，又 $f_{x}(x_{0}, y_{0})=0,f_{y}(x_{0}, y_{0})=0$，令

$$f_{xx}(x_{0}, y_{0})=A,f_{xy}(x_{0}, y_{0})=B,f_{yy}(x_{0}, y_{0})=C,$$

则 $f(x,y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处是否取得极值的条件如下：

(1) $AC-B^{2}>0$ 时具有极值，且当 $A<0$ 时有极大值，当="" $a="">0$ 时有极小值；

(2) $AC-B^{2}<0$ 时没有极值；

(3) $AC-B^{2}=0$ 时可能有极值，也可能没有极值，还需要另作讨论。

条件极值

对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为 无条件极值，而对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

很多情况下，将条件极值化为无条件极值并不容易。可以通过 拉格朗日乘数法 解决条件极值，而不需化为无条件极值。

拉格朗日乘数法

函数

$$\begin{eqnarray}
z=f(x,y)
\end{eqnarray}$$

在条件

$$\begin{eqnarray}
\varphi (x,y)=0
\end{eqnarray}$$

下取得极值的必要条件。

如果函数 (1) 在 $(x_{0}, y_{0})$ 取得所求的极值，那么首先有

$$\begin{eqnarray}
\varphi (x_{0}, y_{0})=0.
\end{eqnarray}$$

我们假定在 $(x_{0}, y_{0})$ 的某一领域内 $f(x,y)$ 与 $\varphi (x,y)$ 均有连续的一阶偏导数，而 $\varphi _{y}(x_{0}, y_{0}) \neq 0$，由隐函数存在定理可知，方程 (2) 确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=\psi (x)$，将其带入 (1) 式，结果得到一个变量 $x$ 的函数

$$\begin{eqnarray}
z=f[x, \psi (x)].
\end{eqnarray}$$

于是函数 (1) 在 $(x_{0}, y_{0})$ 取得所求的极值，也就是相当于函数 $(4)$ 在 $x=x_{0}$ 取得极值。由一元可导函数取得极值的必要条件知道

$$\begin{eqnarray}
\frac{dz}{dx}|_{x=x_{0}}=f_{x}(x_{0}, y_{0})+f_{y}(x_{0}, y_{0})\frac{dy}{dx}|_{x=x_{0}}=0,
\end{eqnarray}$$

而由 (2) 用隐函数求导公式，有

$$\frac{dy}{dx}|_{x=x_{0}}=-\frac{\psi _{x}(x_{0}, y_{0})}{\psi _{y}(x_{0}, y_{0})}.$$

把上式代入 (5) 式，得

$$\begin{eqnarray}
f_{x}(x_{0}, y_{0})-f_{y}(x_{0}, y_{0})\frac{\psi _{x}(x_{0}, y_{0})}{\psi _{y}(x_{0}, y_{0})}=0.
\end{eqnarray}$$

式 (3) 和 (6) 就是函数 (1) 在条件 (2) 下在 $(x_{0}, y_{0})$ 取得极值的必要条件。

设 $\frac{f_{y}(x_{0}, y_{0})}{\psi_{y}(x_{0}, y_{0})}=-\lambda$，上述必要条件就变为

$$\begin{eqnarray}
\begin{cases}
f_{x}(x_{0}, y_{0})+\lambda \varphi _{x}(x_{0}, y_{0})=0,\\
f_{y}(x_{0}, y_{0})+\lambda \varphi _{y}(x_{0}, y_{0})=0,\\
\psi_{y}(x_{0}, y_{0})=0.
\end{cases}
\end{eqnarray}$$

若引进辅助函数

$$L(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y),$$

则不难看出，(7) 中前两项就是

$$L_{x}(x_{0}, y_{0})=0, L_{y}(x_{0}, y_{0})=0.$$

函数 $L(x,y)$ 称为拉格朗日函数，参数 $\lambda$ 称为拉格朗日乘子。

---

要找函数 $z=f(x,y)$ 在附加条件 $\varphi (x,y)=0$ 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数

$$L(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y),$$

其中 $\lambda$ 为参数，求其对 $x$ 与 $y$ 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 (2) 联立起来

$$\begin{eqnarray}
\begin{cases}
f_{x}(x, y)+\lambda \varphi _{x}(x, y)=0,\\
f_{y}(x, y)+\lambda \varphi _{y}(x, y)=0,\\
\psi_{y}(x, y)=0.
\end{cases}
\end{eqnarray}$$

由这方程组解出 $x,y,\lambda$ 这样得到 $(x,y)$ 就是函数 $f(x,y)$ 在附加条件 $\varphi (x,y)=0$ 下的可能极值点。

例子

求表面积为 $a^{2}$ 而体积为最大的长方体的体积。

设长方体的三棱长为 $x、y$ 与 $z$ ，则问题就是在条件

$$\begin{eqnarray}
\varphi (x,y,z)=2xy+2yz+2xz-a^{2}=0
\end{eqnarray}$$

下，求函数

$$V=xyz, (x>0, y>0, z>0)$$

的最大值，作拉格朗日函数

$$L(x,y,z)=xyz+\lambda (2xy+2yz+2xz-a^{2}),$$

求其对 $x、y$ 与 $z$ 的偏导数，并使之为零，得到
$$\begin{eqnarray}
\begin{cases}
yz+2\lambda (y+z)=0,\\
xz+2\lambda (x+z)=0,\\
xy+2\lambda (y+x)=0.
\end{cases}
\end{eqnarray}$$

再与 (9) 联立求解。

因为 $x、y$ 与 $z$ 都不等于零，所以由 (10) 可得

$$\frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z}, \frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z}.$$

由以上两个式子解得

$$x=y=z$$

将此式子代入 (9)，使得

$$x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a,$$

这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，也就是说，表面积为 $a^{2}$ 的长方体中， 以棱长为 $\frac{\sqrt{6}}{6}a$ 的正方体的体积为最大，最大体积 $V=\frac{\sqrt{6}}{36}a^{3}$。

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版