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方向导数

设 $l$ 是 $xOy$ 平面上以 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 为始点的一条射线，$\mathbf{e}_{l}=(cos(\alpha), cos(\beta))$ 是与 $l$ 同方向的单位向量。射线 $l$ 的参数方程为

$$\begin{cases}
x=x_{0}+tcos(\alpha),\\
y=y_{0}+tcos(\beta)&\text{$(t \geq 0).$}
\end{cases}$$

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 的某个领域 $U(P_{0})$ 内有定义，$P(x_{0}+tcos(\alpha),y_{0}+tcos(\beta))$ 为 $l$ 上另外一点，且 $P \in U(P_{0})$。如果函数增量 $f(x_{0}+tcos(\alpha),y_{0}+tcos(\beta))-f(x_{0}+y_{0})$ 与 $P$ 到 $P_{0}$ 的距离 $|PP_{0}|=t$ 的比值

$$\frac{f(x_{0}+tcos(\alpha),y_{0}+tcos(\beta))-f(x_{0},y_{0})}{t}$$

当 $P$ 沿着 $l$ 趋于 $P_{0}$ （即 $t \to 0^{+}$）时的极限存在，那么称此极限为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}$ 沿着方向 $l$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}$，即

$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}=\lim_{t \to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+tcos(\alpha),y_{0}+tcos(\beta))-f(x_{0},y_{0})}{t}.$$

从方向导数的定义可知，方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}$ 就是函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 处沿着方向 $l$ 的变化率。若函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 的偏导数存在

$\mathbf{e}_{l}=\mathbf{i}=(1,0)$，则

$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}=\lim_{t \to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+t,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{t}=f_{x}(x_{0},y_{0});$$

$\mathbf{e}_{l}=\mathbf{j}=(0,1)$，则

$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}=\lim_{t \to 0^{+}}\frac{f(x_{0},y_{0}+t)-f(x_{0},y_{0})}{t}=f_{y}(x_{0},y_{0}).$$

梯度

在二元函数的情形下，设函数 $f(x,y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每点 $P_{0}(x_{0}, y_{0}) \in D$，都可定出一个向量

$$f_{x}(x_{0}, y_{0})\mathbf{i}+f_{y}(x_{0}, y_{0})\mathbf{j}，$$

这向量称为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 的梯度，记作 $\mathbf{grad} f(x_{0}, y_{0})$ 或 $\nabla f(x_{0}, y_{0})$，即

$$\mathbf{grad} f(x_{0}, y_{0})=\nabla f(x_{0}, y_{0})=f_{x}(x_{0}, y_{0})\mathbf{i}+f_{y}(x_{0}, y_{0})\mathbf{j}.$$

其中 $\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}$ 称为（二维的）向量微分算子或 $Nabla$ 算子，$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}.$

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 可微分，$\mathbf{e}_{l}=(cos(\alpha), cos(\beta))$ 是与方向 $l$ 同向的单位向量，那么

$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}=f_{x}(x_{0}, y_{0})cos(\alpha)+f_{y}(x_{0}, y_{0})cos(\beta)\\
=\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})\cdot \mathbf{e}_{l}\\
=|\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})|cos(\theta),$$

其中，$\theta=(\mathbf{grad}f(x_{0}, \widehat{y_{0}), \mathbf{e}_{l}}).$

这一关系表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系，即

(1) 当 $\theta=0$，即方向 $\mathbf{e}_{l}$ 与梯度 $\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})$ 的方向相同时，函数 $f(x,y)$ 增加最快，此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是的梯度 $\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})$ 的模，即

$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}=|\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})|.$$

这个结果也表明：函数 $f(x,y)$ 在一点的梯度 $\mathbf{grad} f$ 是这样的一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

(2) 当 $\theta=\pi$，即方向 $\mathbf{e}_{l}$ 与梯度 $\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})$ 的方向相反时，函数 $f(x,y)$ 减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值，即

$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}=-|\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})|.$$

(3) 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$，即方向 $\mathbf{e}_{l}$ 与梯度 $\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})$ 的方向正交时，函数的变化率为零，即

$$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0}, y_{0})}=-|\mathbf{grad}f(x_{0}, y_{0})|cos(\theta)=0.$$

例子

求 $\mathbf{grad}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.$

这里 $f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.$因为

$$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}，\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2},$$

所以

$$\mathbf{grad}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\mathbf{i}-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}\mathbf{j}.$$

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版