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定积分

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有上届，在 $[a,b]$ 中任意插入若干分点

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,$$

把区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间

$$[x_0, x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1}, x_n],$$

各个小区间的长度依次为

$$\Delta x_1=x_1-x_0, \Delta x_2=x_2-x_1, \cdots, \Delta x_n=x_n-x_{n-1},$$

在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任意取一个点 $\xi _{i}$ 与小区间长度 $\Delta x_i$ 的乘积 $f(\xi _i)\Delta x_i(i=1,2,\cdots,n)$ ，并作出和

$$\begin{eqnarray}
S=\sum_{i=1}^{n} f(\xi _i)\Delta x_i.
\end{eqnarray}$$

记 $\lambda=max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}$，如果 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区间 $[a, b]$ 的分法及点 $\xi _i$ 的取法无法，那么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分（简称积分），记作 $\int_{a}^{b} f(x)dx$，即

$$\begin{eqnarray}
\int_{a}^{b} f(x)dx=I=\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi _i)\Delta x_i,
\end{eqnarray}$$

其中 $f(x)$ 叫做被积函数，$f(x)dx$ 叫做被积表达式，$x$ 叫做积分变量，$a$ 叫做积分下限，$b$ 叫做积分上限，$[a, b]$ 叫做积分区间。

性质

性质1

设 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为常数，则

$$\int_{\alpha}^{\beta}[\alpha f(x)+\beta f(x)]dx=\alpha \int_{a}^{b} f(x)dx+\beta \int_{a}^{b} g(x)dx.$$

性质2

设 $a<c<b$，则

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx.$$

性质3

如果在区间 $[a,b]$ 上$f(x)\equiv 1$，那么

$$\int_{a}^{b} 1dx=\int_{a}^{b} dx=b-a$$

性质4

如果在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)\geq 0$，那么

$$\int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0, (a<b)$$

推论1

如果在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \leq g(x)$，那么

$$\int_{a}^{b} f(x)dx \leq \int_{a}^{b} g(x)dx,(a<b).$$

推论2

$$|\int_{a}^{b} f(x)dx|\leq\int_{a}^{b} |f(x)|dx,(a<b).$$

性质5

设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值和最小值，则

$$m(b-a)\leq \int_{a}^{b} f(x)dx \leq M(b-a), (a<b).$$

性质6（定积分中值定理）

如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 上连续，那么在 $[a, b]$ 上至少存在一个点 $\xi$ ，使下式成立

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a), (a\leq\xi\leq b).$$

微积分基本定理

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，那么

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a).$$

上面公式叫做 牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式，也叫作微积分基本公式。

定积分换元和分部积分

定积分的换元法

假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x=\varphi (t)$ 满足条件

1. $\varphi (\alpha)=a,\varphi (\beta)=b;$
2. $\varphi (t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ （或$[\beta, \alpha]$）上具有连续导数，且其值域 $R_{\varphi}=[a, b]$，则有

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi (t)]\varphi ^{‘}(t)dt.$$

定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

$$
\int_{a}^{b} u(x)v^{‘}(x)dx=[\int u(x)v^{‘}(x)dx]_{a}^{b} \\
=[u(x)v(x)-\int v(x)u^{‘}(x)dx]_{a}^{b} \\
=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v(x)u^{‘}(x)dx,
$$

简记作

$$\int_{a}^{b} uv^{‘}dx=[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} vu^{‘}dx,$$

或

$$\int_{a}^{b} udv=[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} vdu.$$

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版