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原函数

如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任一 $c \in I$，都有

$$F^{‘}(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx,$$

那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ （或$f(x)dx$）在区间 $I$ 上的一个原函数。

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$，即对任一 $x \in I$ 都有

$$F^{‘}(x)=f(x)$$

即连续函数一定有原函数。

不定积分

在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常项的原函数称为 $f(x)$ （或$f(x)dx$）在区间 $I$ 上的不定积分，记作

$$\int f(x)dx$$

其中 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)dx$ 称为被积表达式，$x$ 称为积分变量。

基本积分表

• $\int kdx=kx+C（k是常数），$
• $\int x^{\mu}dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C，(\mu \neq -1)，$
• $\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C，$
• $\int \frac{dx}{1+x^{2}}=arctan(x)+C,$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=arcsin(x)+C,$
• $\int cos(x)dx=sin(x)+C,$
• $\int sin(x)dx=-cos(x)+C,$
• $\int \frac{dx}{cos^{2}(x)}=\int sec^{2}(x)dx=tan(x)+C,$
• $\int \frac{dx}{sin^{2}(x)}=\int csc^{2}(x)dx=-cot(x)+C,$
• $\int sec(x)tan(x)dx=sec(x)+C,$
• $\int csc(x)cot(x)dx=-csc(x)+C,$
• $\int e^{x}dx=e^{x}+C,$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{ln(x)}+C.$

不定积分性质

性质1

设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在，则

$$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$$

性质2

设函数 $f(x)$ 的原函数存在，$k$ 为非零常数，则

$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

换元积分法

第一类换元法

设 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$，即

$$F^{‘}(u)=f(u)，\int f(u)du=F(u)+C.$$

如果 $u$ 是中间变量，且 $u=\varphi (x)$，设 $\varphi (x)$ 可微，那么，根据复合函数微分法，有

$$dF[\varphi (x)]=f[\varphi (x)]\varphi ^{‘}(x)dx$$

从而根据不定积分的定义就得

$$\int f[\varphi (x)]\varphi ^{‘}(x)dx=F[\varphi (x)]+C=[\int f(u)du]_{u=\varphi (x)}$$

例子

求 $\int 2cos(2x)dx.$

$$\int 2cos(2x)dx=\int cos(2x)\cdot 2dx=\int cos(2x)\cdot (2x)^{‘}dx$$

令 $u=2x$

$$\int 2cos(2x)dx=\int cos(u)du=sin(u)+C=sin(2x)+C.$$

第二类换元法

设 $x=\psi (t)$是单调的可导函数，并且 $\psi ^{‘}(t) \neq 0$. 又设 $f[\psi (t)]\psi ^{‘}(t)$ 具有原函数，则有换元公式

$$\int f(x)dx=[\int f[\psi (t)]\psi ^{‘}(t)dt]_{t=\psi ^{-1}(x)},$$

其中 $\psi ^{-1}(x)$ 是 $x=\psi (t)$ 的反函数。

分部积分

设函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为

$$(uv)^{‘}=u^{‘}v+uv^{‘},$$

移项，得

$$uv^{‘}=(uv)^{‘}-u^{‘}v.$$

对这个等式两边求不定积分，得

$$\begin{eqnarray}
\int uv^{‘}dx=uv-\int u^{‘}vdx
\end{eqnarray}$$

公式 (1) 称为分部积分公式。如果求 $\int uv^{‘}dx$ 有困难，而求$\int u^{‘}vdx$ 比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。

例子

求 $\int xcos(x)dx$

如果设 $u=x, dv=cos(x)dx$，则 $du=dx$，$v=sin(x)$，则

$$\int xcos(x)dx=xsin(x)-\int sin(x)dx,$$

而 $\int vdu=\int sin(x)dx$ 容易积出，所以

$$\int xcos(x)dx=xsin(x)+cos(x)+C.$$

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版