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背景

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达。由于用多项式表示函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此，经常用多项式来近似表达函数。

泰勒中值定理1

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，试找出一个关于 $x-x_0$ 的 $n$ 次多项式

$$\begin{eqnarray}
p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^{2}+\cdots+a_n(x-x_0)^n
\end{eqnarray}$$

来近似表达 $f(x)$，要求使得 $p_n(x)$ 与 $f(x)$ 之差是当 $x \to x_0$ 时比 $(x-x_0)^{n}$ 高阶的无穷小。

假设 $p_n(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值及它的直到 $n$ 阶导数在 $x_0$ 处的值依次与 $f(x_0)，f^{‘}(x_0)，\cdots，f^{(n)}(x_0)$ 相等，即满足

$$p_{n}(x_0)=f(x_0)，p^{‘}(x_0)=f^{‘}(x_0)，$$

$$p_{n}^{‘’}(x_0)=f^{‘’}(x_0)，\cdots，p_{n}^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)，$$

按这些等式来确定多项式 (1) 的系数 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n$。为此，对 (1) 式求各阶导数，然后分别带入以上式子得到

$$a_0=f(x_0), 1 \cdot a_1=f^{‘}(x_0)$$

$$2! \cdot a_2=f^{‘’}(x_0), \cdots, n! \cdot a_n=f^{(n)}(x_0)，$$

即得

$$a_0=f(x_0)，a_1=f^{‘}(x_0)，a_2=\frac{1}{2!} f^{‘’}(x_0)，\cdots，a_n=\frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0).$$

将求得的系数 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n$ 带入 (1) 式，有

$$\begin{eqnarray}
p_n(x)=f(x_0)+f^{‘}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{‘’}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}.
\end{eqnarray}$$

泰勒(Taylor)中值定理1

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个领域，对于该领域内的任一 $x$，有

$$\begin{eqnarray}
f(x)=f(x_0)+f^{‘}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{‘’}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_{n}(x),
\end{eqnarray}$$

其中，

$$\begin{eqnarray}
R_n(x)=o((x-x_0)^{n}).
\end{eqnarray}$$

多项式 (2) 称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（或按（$(x \to x_0)$）的幂展开）的 $n$ 次泰勒多项式。

多项式 (3) 称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（或按（$(x \to x_0)$）的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的 $n$ 阶泰勒公式。

$R_{n}(x)$ 的表达式 (4) 称为佩亚诺余项，它就是用 $n$ 次泰勒多项式来近似表达 $f(x)$ 所产生的误差。这一误差是当 $x \to x_0$ 时比 $(x-x_0)^{n}$ 高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小。而 泰勒(Taylor)中值定理2 则解决了这一问题。

泰勒中值定理2

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个领域 $U(x_0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对任一 $x \in U(x_0)$，有

$$\begin{eqnarray}
f(x)=f(x_0)+f^{‘}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{‘’}(x_0)}{2!}(x-x_0)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+R_{n}(x),
\end{eqnarray}$$

其中

$$\begin{eqnarray}
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}，
\end{eqnarray}$$

这里 $\xi$ 是 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值。

公式 (5) 称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（或按（$(x \to x_0)$）的幂展开）的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒多项式，而 $R_n(x)$ 的表达式 (6) 称为拉格朗日余项。

当 $n=0$ 时，泰勒公式 (5) 变成拉格朗日中值公式

$$f(x)=f(x_0)+f^{‘}(\xi)(x-x_0)，(\xi 在 x_0 与 x 之间).$$

因此，泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推广。

由泰勒中值定理2可知，以多项式 $p_n(x)$ 近似表达函数 $f(x)$ 时，其误差为 $|R_n(x)|$。如果对于某个固定的 $n$，当 $x \in U(x_0)$ 时，$|f^{(n+1)}(x)| \leq M$，那么有估计式

$$\begin{eqnarray}
|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
\end{eqnarray}$$

在泰勒公式 (3) 中，如果取 $x_0=0$，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式

$$\begin{eqnarray}
f(x)=f(0)+f^{‘}(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+o(x^{n}).
\end{eqnarray}$$

在泰勒公式 (5) 中，如果取 $x_0=0$，那么 $\xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。因此，可以令 $\xi=\theta x，(0<\theta<1)$，从而泰勒公式 (5) 变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

$$\begin{eqnarray}
f(x)=f(0)+f^{‘}(0)x+\frac{f^{‘’}(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}, (0<\theta<1).
\end{eqnarray}$$

由 (8) 和 (9) 可得近似公式

$$f(x)=f(0)+f^{‘}(0)x+\frac{f^{‘’}(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}，$$

误差估计式 (7) 相应的变成

$$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}.$$

例子

函数 $f(x)=e^{x}$ 的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶麦克劳林公式:

因为

$$f^{‘}(x)=f^{‘’}(x)=\cdots=f^{(n)}(x)=e^{x}$$

所以

$$f(0)=f^{‘}(0)=f^{‘’}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=1$$

把这些值带入 (9)，并注意到 $f^{(n+1)}(\theta x)=e^{\theta x}$ 便得

$$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}, (0<\theta<1).$$

由这个公式可知，若把 $e^{x}$ 用它的 $n$ 次泰勒多项式表达为

$$e^{x} \approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}，$$

这时所产生的误差为

$$|R_n(x)|=|\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}|<\frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}, (0<\theta<1).$$

如果取 $x=1$，则取得无理数 $e$ 的近似式为

$$e \approx 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}，$$

其误差

$$|R_n|<\frac{e}{(n+1)!}<\frac{3}{(n+1)!}.$$

当 $n=10$ 时，可算出 $e \approx 2.718282$，其误差不超过 $10^{-6}$。

参考资料

1. 《高等数学》，第七版上册，同济大学版